浮选发生在气- 固- 液多相多尺度的复杂流动体系中，本质是气泡与颗粒在流体中进行宏尺度运动时，局部伴随微尺度作用（碰撞、黏附和脱附）的过程，受流体动力学与界面物理化学的共同作用。在不同环节这两类作用的主导性存在差异，其中，气泡与颗粒的运动及碰撞过程受流体动力学作用主导，黏附过程受界面物理化学作用主导。一个完整的浮选动力学过程，应同时涵盖对宏尺度颗粒与气泡运动过程的解析，以及对微尺度颗粒- 气泡相互作用过程的描述。但长期以来，受制于学科壁垒，流体力学领域学者极少关注浮选体系，矿物加工领域学者也对流体动力学重视不足，以一阶反应速率模型为代表的宏观浮选动力学过程，以及颗粒- 气泡间的微观界面物理化学过程一直是研究焦点，而面向浮选领域的流体动力学过程研究则相对滞后。
对过程的深入理解是技术突破的基石，数理模型是客观规律的反映，通过前面添加数理模型是客观规律的反映机理、规律研究建立数理模型对过程进行数学量化表征，有助于深入理解物理过程并找到问题的突破口，以及实现对过程的精准调控；另一方面，通过完善的数理模型，结合过程主控方程，可对物理过程的性能指标实现理论预测。例如，中国矿业大学、中南大学等及澳大利亚联邦科学与工业研究组织已成功将经典浮选动力学模型与计算流体力学技术相结合，用于不同类型浮选设备（如机械搅拌式、浮选柱等）内浮选子过程行为与回收率、产率等浮选性能的预测分析。
从动力学角度分析，微细颗粒之所以难以浮选，核心原因在于其质量小、惯性低，在水流运动中，这类颗粒易随流线绕气泡而过，难以突破流线束缚与气泡发生碰撞，导致矿化效率低下，浮选回收效果不佳。学者们通过理论与试验研究已证实，湍流环境中，流体的高频随机脉动能显著提高微细颗粒与气泡的碰撞频率（或接触频次）；同时，湍流涡运动产生的惯性加速等作用可推动微细颗粒脱离原有流线，与气泡形成有效碰撞，进而提升碰撞概率。因此，学界已普遍认为，微细颗粒浮选需在湍流甚至强湍流环境中进行。基于这一共识，针对微细颗粒浮选，湍流流态下的碰撞模型更值得我们重点关注。
本文系统总结了微细粒矿物浮选的关键流体动力学数理模型，包括主导气泡运动的气- 液相间曳力系数模型、主导颗粒运动的固- 液相间曳力系数模型，以及颗粒- 气泡碰撞模型，同时聚焦微细颗粒浮选所特有的界面特性、浮选溶液化学特性与湍流流动等关键点，分析了现有模型的适用性及泛化能力，总结了研究人员为解决当前模型的不足方面所取得的进展，探讨了仍然存在的问题及未来的发展方向。
气泡、颗粒在流体中运动时，主要受到浮力、重力、流体曳力、附加质量力和Basset 力等，如图1 所示， 其中曳力是主导力，其计算如式（1）所示，曳力系数CD 是曳力计算的关键参数，一般通过大量试验数据分析得出，通常是雷诺数及其他无量纲数的函数，称之为曳力系数模型，气泡和颗粒因不同的受力特点，分别具有各自的模型体系。不同类型的气- 液曳力系数模型及固- 液曳力系数模型早已被用于浮选设备的流场预测，并指导了浮选设备结构设计及流场调控。
图1 （a）湍流流体流动中气泡受力；（b）颗粒受力示意图
表1 中列举了常用气泡运动曳力系数模型，其中Stokes 模型、Levich-Ackeret 模型是早期建立的经典曳力系数模型，大多后续模型均基于经典模型进行修正。从表1 可知，研究者对曳力系数的修正工作主要集中在三个方面：1）基于气泡周围流场状态的修正，如雷诺数变化及流场扰动影响，例如Schiller 模型、Turton-Levenspiel 模型和Mei 模型；2）考虑气泡变形对受力平衡的影响，包括非球形气泡动力学，例如Moore模型、Ishii 模型和Zhou 等模型；3）考虑流体性质的修正，如化学溶液及非牛顿体系中曳力系数特性，包括Tomiyama 模型、Peebles 模型、Kelbaliyev 模型和Rodrigue 模型，上述研究使气泡在流体中的运动表征越来越准确。
上述模型大多基于气泡稳态直线上浮的假设，忽略了气泡在实际上浮过程中常呈现出的非稳态特征，例如图2，气泡的上升轨迹呈现“Z”型，因此模型预测精度欠佳。除了第（3）条考虑的溶液化学环境，气泡表面还通常黏附有颗粒，均间接影响了气泡运动，如图3 所示，气泡在不同浓度的仲辛醇溶液中运动轨迹存在差异，当气泡表面颗粒负载量不同时运动也会发生变化，而上述大多模型均未充分考虑这些特征。
图3 （a）不同浓度仲辛醇溶液及（b）不同颗粒覆盖率气泡运动特征具有差异性
为了提高模型在浮选体系的适用性，SADHAL 等在1983 年提出了表面负载颗粒的气泡曳力系数模型，并考虑了流体运动导致的气泡部分负载和未负载表面滑动状况，HUANG等试验验证SADHAL 等的曳力系数模型仅仅适用于22 μm 的细颗粒； 2019 年WANG等在Schiller曳力系数模型基础上提出了考虑颗粒负载率的气泡曳力系数模型，WANG等指出，该曳力系数模型尽管考虑了浮选中气泡负载颗粒水平特征，但活性剂浓度的影响被忽略。针对上述模型存在的问题，笔者团队YAN等考虑气泡非稳态运动行为、浮选溶液化学环境及气泡负载颗粒行为，逐步开展了以下三方面的研究，最终实现具有浮选特征的气液曳力系数预测。
1）在纯水体系中考虑气泡变形与非稳态运动特征，基于经典Schiller模型建立了非稳态特征的气-液 曳力系数模型；
2）进一步考虑浮选药剂加入导致的气泡表面污染，基于表面活性剂对气- 液界面黏性阻力的增强机制及对气泡形变的抑制机制，构建了适用于溶液化学体系的气泡运动曳力系数模型，与包含了21 种溶液、238 个数据点的第三方试验数据对比，模型平均误差仅为0.87%，显著优于经典模型（图4（a）、 图4（b）），如Ishii & Chawla 模型平均误差为9.1%， Tomiyama 模型误差为12.2%，因此模型具有优异的泛化能力，适用范围覆盖10-3 ≤ Re ≤ 105，10-2 ≤ Eo ≤ 103，10-14 ≤Mo≤ 107；
3）将2）修正的曳力系数模型推广应用于负载颗粒的气泡运动体系，因类似的力学影响机制以及对界面力、浮力、惯性力及黏性力的完整表征，该模型对表面负载颗粒的气泡运动仍然适用，相比其他模型，YAN曳力系数模型预测值与试验数据最为吻合，如图4（c）所示，曳力系数模型误差仅为0.6%。
图4 （a）模型适用性验证；（b）经典曳力系数模型与试验数据对比；（c）负载颗粒的气泡运动数据与各曳力模型对比
上述模型已获得国内外不同研究机构的应用与肯定，仍然值得注意的是，上述模型均基于单气泡运动，基于气泡群的修正需进一步开展。
表2 中列举了现有大多数颗粒曳力系数模型，早在1851 年，STOKES 将Navier-Stokes 方程中的惯性项忽略，建立了Stokes 颗粒曳力系数模型，虽然仅适用于低雷诺数流动，但该模型是大多修正曳力系数模型的基础，研究人员通过大量的试验获取数据，将Stokes 模型扩展到广泛的雷诺数范围，例如SCHILLER，CLIFT 和GAUVIN，BROWN-LAWLER，CHENG，YANG等，提高了不同 流动状态下颗粒曳力系数模型的预测精度，然而，这其中的大多数模型仅对粗颗粒预测较为精准，仅有Schiller 模型对细颗粒有一定适用性，HAIDER-LEVENSPIEL，CLIFT-GAUVIN，WANG 等通过引入形状修正因子提高不规则颗粒及非球形颗粒的曳力预测精度。可见研究人员的修正大多围绕流动状态、颗粒形状等开展，但这些修正均基于粗颗粒- 纯水体系建立，对于浮选溶液体系中的微细颗粒运动适用性不足。
试验研究表明，不同疏水性微细颗粒的速度表现不同，如图5 所示，SOAMES等发现，亲水颗粒在乙二醇中的运动速度要远大于亲油颗粒，即颗粒亲疏水性对微细粒的运动影响很大。WANG等通过引入表面润湿性依赖的指数函数（图6），建立了考虑润湿性的球形微细颗粒曳力系数模型（表2），相比于传统Stokes 模型18.57%的预测误差，模型的平均误差显著降低至3.10%。该模型揭示了微细疏水颗粒运动差异性背后的力学机制，首先微细颗粒的尺度效应会使界面力与重力产生等效作用，界面力对运动的影响将不能忽略；其次，表面疏水性会引发液固界面的疏水排斥效应，进而形成局部黏度梯度，最终降低曳力。另外，模型将表面润湿性纳入颗粒动力学计算，弥补了传统模型无法解释疏水颗粒异常沉降行为的不足。进一步地，WANG等基于CFD方法将该润湿性修正模型推广应用于微细粒铝土矿的旋流分选模拟中，有效提升了对颗粒运动行为的预测能力，与可用于微细颗粒运动的Schiller 模型相比，该模型将预测误差从11.7%降低至1.91%。
图5 （a）水润湿和（b）油润湿微细颗粒（10~32 μm）在单乙二醇（MEG）溶液中颗粒运动行为
浮选动力学理论将回收率视为与颗粒数量浓度相关的一阶过程：
式（2）中，Z 为气泡、颗粒的碰撞频率；Pc 为碰撞概率；Pa 为黏附概率；Pd 为脱附概率，Np 为颗粒数量浓度。碰撞频率和碰撞概率是涉及到碰撞的两个关键模型。碰撞频率为单位时间单位体积内气泡和颗粒的碰撞（接触）的次数，微细颗粒在遇到较大的气泡时往往跟随流线绕流气泡运动，因此，颗粒与气泡即使“相遇”也不一定能发生有效碰撞。因此，实际湍流下的碰撞频率需要通过引入修正系数对理想模型计算的碰撞频率进行修正。这个修正系数被定义为碰撞概率（Pc），等于实际碰撞次数与理想碰撞次数之比，反映了由于绕流效应造成的碰撞概率降低， 并且，碰撞概率的值通常小于1。
表3 中罗列了常用的碰撞概率模型。Langmuir- Blodgett 模型以惯性碰撞为主导，对大颗粒的碰撞概率预测较好，对微细颗粒的碰撞概率预测准确度不足。SUTHERLAND、YOON-LUTTRELL和GAUDIN等的碰撞概率模型则忽略了颗粒与流体之间的相互作用力，认为颗粒完全跟随流线运动，不同之处在于：SUTHERLAND假定流动为势流，GAUDIN假定流动为Stokes 流，YOON-LUTTRELL则将Stokes 流和势流的流函数进行了线性组合，给出了介于二者之间的中间流条件下的碰撞概率模型。ANFRUNS-KITCHENER基于Stokes 流态给出了颗粒的重力和流体曳力主导下的碰撞概率，但忽略了惯性力。Weber-Paddock 模型首次在碰撞概率的计算中引入临界碰撞角，以表征颗粒在气泡表面的碰撞范围，适用于低惯性微细粒。Nguyen 模型与Weber-Paddock 模型类似，但采用了不同的临界碰撞角计算方法。Schulze 模型综合考虑了直接拦截、重力和惯性的作用，并认为总的碰撞概率等于独立作用时的碰撞概率之和，但没有考虑惯性力的负面影响。Gse 模型则认为直接拦截、重力和惯性作用不能像Schulze 模型一样进行简单叠加，给出了新的修正，并考虑了惯性力对碰撞概率的负面影响。
可以看出，碰撞概率模型一直在不断地修正以适应浮选技术的发展，但由于湍流的复杂性和测试手段的限制，出现于20 世纪的经典碰撞模型大多对流动都做了各种各样的假设，以忽略惯性力的Stokes 流和忽略黏性力的势流为主，未能体现对颗粒- 气泡碰撞具有重要影响的微观湍流特性，甚至对哈里蒙管简单低速流体环境下的碰撞概率都未得出一致的预测结果，如图7 所示。
随着微细粒湍流浮选技术的发展，经典模型的适用性面临巨大挑战，由此研究人员进行了大量的修正，代表性模型列于表4。2004 年NGUYEN等通过理论推导得到了湍流下碰撞次数的计算公式，该公式将微观湍流特性参数（例如脉动速度）考虑在内，使碰撞概率模型的发展向前迈进了一步，但该方法忽略了由颗粒与气泡尺寸的显著差异引发的气泡尺度绕流对碰撞的影响；2016 年，NGUYEN等提出湍流中颗粒- 气泡碰撞可以分解为由流体时均流动与脉动运动主导的两部分，时均确定性碰撞概率仍可采用经典公式计算，脉动部分则取决于湍流涡与颗粒之间的相互作用。NGO-CONG等给出了考虑湍流剪切、气泡/ 颗粒惯性加速的碰撞次数计算公式，但模型中假定颗粒- 气泡相对速度方向固定不变，与湍流随机特性有偏差，其模型在弱湍流环境中预测良好，但强湍流条件下预测值高达200% 以上，显著偏离碰撞概率理论上不超过100% 的物理上限；KOSTOGLOU等则修正了颗粒- 气泡相对运动的速度方向，建立了适用于颗粒粒径2~20 μm、气泡直径0.5~1.5 mm的碰撞概率模型；LI 等基于数值模拟结果给出了湍流条件下碰率的经验撞概计算公式，在低Stokes 流中适应性较好；WANG等将颗粒在湍流时均速度与脉动速度主导下的位移之比来度量碰撞概率，仅在低强度湍流适用性较好。HASSANZADEH 等全面回顾了现有的碰撞理论，并讨论了现有碰撞模型的局限性，他认为对流体力和湍流效应的考虑不足是模型应用受限的重要原因。为此，提高湍流强度以便模型更接近于实际浮选成为模型修正的重要路径，为此，笔者团队在上述模型的启发下，对碰撞模型修正开展了初步探索，如郑恺昕等借助CFD-DEM数值模拟方法，研究了层流与中等湍流强度（5%~20%）条件下颗粒与气泡的碰撞概率，发现了碰撞概率、湍流强度与颗粒物性之间的非线性关系（图8（a）），揭示了小尺度湍流涡对颗粒- 气泡确定性碰撞抑制作用与随机碰撞增强作用之间竞争机制（图8（b）），通过颗粒斯托克斯数（St）和颗粒响应数（Sttur）量化了颗粒惯性与湍流脉动在碰撞过程中的共同作用，并基于Weber-Paddock 经典模型建立了综合考虑拦截、重力、惯性与湍流作用的颗粒- 气泡碰撞概率模型。在颗粒粒径30~100 μm，气泡雷诺数250~400，湍流强度低于20% 的研究范围内，新模型与模拟值的平均误差为7.03%，优于现有模型（例如Nguyen-Schulze 模型误差33.1%），与有限试验数据对比，结果表明新模型预测趋势与试验一致，平均相对误差显著低于现有模型，如Nguyen 和Schulze、Yoon 和Luttrell 及LI 模型（图8（c））。
在碰撞频率模型方面，微细颗粒- 气泡的碰撞频率建模主要基于三种物理机制：剪切机制、加速机制与沉降机制。当前模型普遍通过脉动速度与湍流耗散率等参数量化湍流对碰撞频率的贡献。表5 总结了典型的碰撞频率模型及适用条件。SMOLUCHOWSKI最先给出了计算公式，随后CAMP对SMOLUCHOWSKI 公式进行了能量耗散修正；SAFFMAN等假设颗粒完全跟随流线运动，得到了低强度湍流环境下碰撞频率公式； ABRAHAMSON则假定颗粒在湍流涡之间弹射， 完全不跟随流线运动，建立了湍流惯性区碰撞频率公式；而NGUYEN等认为颗粒和气泡更多是在湍流耗散区发生碰撞，颗粒不一定完全跟随流线运动，将湍流脉动速度引入推导得出碰撞频率数学模型，该模型考虑了微细粒浮选发生的微观湍流环境，相比其他模型具有一定的先进性。脉动速度具有随机性的特点，难以通过测试手段或理论推导方式得到，NGUYEN等分别利用ALLEN曳力系数模型和STOKES曳力系数模型计算气泡、颗粒脉动速度，而Allen 气液曳力系数模型未考虑颗粒负载的影响，Stokes 固液曳力系数模型没有考虑疏水性的影响，随后NGUYEN等也指出，由于湍流的复杂性其碰撞频率模型需要试验验证。
湍流中颗粒、气泡的运动行为和相对速度是影响碰撞频率的关键。在不同斯托克斯数（St）条件下，颗粒与气泡的相对运动行为存在显著差异，READE 等指出，在高斯托克斯数（St ≫ 1）条件下，颗粒可脱离流体轨迹并与气泡发生直接碰撞。而在St ≪ 1 时，颗粒紧随流体流线运动，极易绕流气泡，不易发生实际接触，因此构建碰撞频率模型必须考虑不同惯性颗粒、气泡的运动特征。许多学者结合湍流中颗粒、气泡滑移速度计算，对Abrahamson 模型进行修正，并将其推广应用于浮选过程中，此外，表1 中列举的多数碰撞频率模型原本是基于颗粒- 颗粒系统构建，未充分考虑浮选系统中：1）不同物性颗粒在多尺度湍流涡中的动力学行为差异；2）气泡粒径大（>500 μm）、密度低、易被湍涡捕获等关键特性，与浮选中真实的颗粒- 气泡相互作用存在明显偏差。针对上述模型存在的不足，李晓恒在振动格栅湍流条件下开展颗粒- 气泡碰撞试验，并在Abrahamson 模型的基础上进行模型修正，有一定进展，但受限于其试验所覆盖的湍流强度与耗散率范围，该模型仍与实际浮选设备中高湍流剪切与复杂流动环境存在差距，需进一步试验验证及修正。因此，针对微细粒在强湍流条件下的响应特性进行定量评估，准确建模其在复杂流场中的碰撞行为，是未来构建高适用性碰撞频率模型的关键。
经典浮选动力学模型大多通过简单试验（单颗粒- 单气泡的静态流体系统）、流动假设（斯托克斯流或者势流，球形颗粒、球形气泡假设等）建立的经验或半经验模型，尽管有模型考虑了气泡附近的局部湍流以及颗粒的湍流扩散，但与实际浮选过程中的湍流情况仍有较大差异。湍流流动是随机的不确定过程，基于湍流流动的浮选试验建模是艰巨且复杂的，很大程度上依赖于湍流研究的进步，近期提出的新模型预测能力仍然不足。
深度学习技术凭借其强大的非线性建模能力和出色的泛化性能，逐渐被引入浮选过程建模中。现在数值模拟方法已经能够精确模拟湍流条件下的浮选过程流场信息，研究者开始尝试将模拟获得的局部流场信息引入到浮选建模中，结合机器学习，尤其是符号回归（Symbolic Regression）方法，有望实现对湍流下浮选性能的显式建模，该方法通过对浮选回收率影响因素的全面量化（涵盖气泡性质、颗粒属性、流体性质与湍流特征等），筛选出最具代表性的无量纲参数，进一步建立这些关键因子与浮选回收率之间的数学关系，并以可解释性强的函数形式呈现。
1）传统气泡曳力系数模型因未充分考虑浮选中物理化学因素难以适用于矿物浮选体系。研究人员构建了考虑气泡非稳态运动行为、浮选溶液化学环境及气泡负载颗粒行为的气泡曳力系数模型，相比传统气泡曳力系数模型及新近发展模型，模型预测值与试验数据吻合程度较好。值得关注的是，上述模型均基于单气泡运动以及在较为稳定的流体环境，基于气泡群及湍流实际状态的修正需进一步开展。
2）传统颗粒曳力系数模型大多基于粗颗粒- 纯水体系建立，对于浮选溶液化学体系中的微细颗粒运动适用性不足。研究人员建立了考虑润湿性的球形微细颗粒曳力系数模型，相比于传统模型，模型的平均误差显著降低，将表面润湿性纳入颗粒动力学计算，弥补了传统模型无法解释疏水颗粒异常沉降行为的不足。
3）经典微观浮选动力学模型由于未充分考虑微观流体环境难以适用于湍流分选体系，例如，经典碰撞模型的数学表达式仅使用诸如雷诺数的宏观湍流参数表征湍流影响，甚至未包含任何湍流参数，尤其是微观湍流参数，而颗粒- 气泡碰撞受微尺度湍流影响，新近发展的碰撞模型将湍流随机作用和涡影响考虑到经典模型中，预测精度有所提升。
4）浮选建模正从传统经验方法向CFD与人工智能融合方向转变，将CFD数据与深度学习结合，可实现对复杂浮选行为的快速预测与建模。未来应进一步探索CFD与AI 的耦合方式，构建全工况、可解释性强的浮选建模平台，推动智能浮选控制与优化的发展。
另外，对于微细颗粒浮选，强湍流体系下气泡破碎、颗粒聚团、颗粒脱附也有着重要影响，同样需要深入探讨。
